PEMBUKTIAN TEOREMA PHYTAGORAS

|


Dalam matematika, teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam geometri Euclides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku.Teorema ini dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani abad ke-6 SM, Pythagoras. Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan India (dalam Sulbasutra Baudhayana dan Katyayana), Yunani, Tionghoa dan Babilonia jauh sebelum Pythagoras lahir. Pythagoras mendapat kredit karena ialah yang pertama membuktikan kebenaran universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis.
Ada dua bukti kontemporer yang bisa dianggap sebagai catatan tertua mengenai teorema Pythagoras: satu dapat ditemukan dalam Chou Pei Suan Ching (sekitar 500-200 SM), satunya lagi dalam buku Elemen Euklides.

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa:
“Jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus.”
Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku; kaki-nya adalah dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut, dan hipotenus adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut. Pada gambar di bawah ini, a dan b adalah kaki segitiga siku-siku dan c adalah hipotenus:
Pythagoras menyatakan teorema ini dalam gaya goemetris, sebagai pernyataan tentang luas bujur sangkar:
“Jumlah luas bujur sangkar biru dan merah sama dengan luas bujur sangkar ungu.” 

Akan halnya, Sulbasutra India juga menyatakan bahwa:
Tali yang direntangkan sepanjang panjang diagonal sebuah persegi panjang akan menghasilkan luas yang dihasilkan sisi vertikal dan horisontalnya. Menggunakan aljabar, kita dapat mengformulasikan ulang teorema tersebut ke dalam pernyataan modern dengan mengambil catatan bahwa luas sebuah bujur sangkar adalah pangkat dua dari panjang sisinya:
        Jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai kaki dengan panjang a dan b dan hipotenus dengan panjang c, maka a+ b' = c

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments(0)

SEJARAH SINGKAT TEOREMA PHYTAGORAS

|


Pythagoras (569-500 SM) lahir di Pulau Samos di Yunani, dan melakukan banyak perjalanan melalui Mesir, belajar, antara lain, Matematika. Tidak banyak yang diketahui dari Phytagoras pada tahun-tahun awal. Pythagoras menjadi terkenal setelah mendirikan sebuah kelompok, “the Brotherhood of Pythagoreans” (Persaudaraan ilmu Pythagoras), yang dikhususkan untuk mempelajari matematika. Kelompok ini sangat dikultuskan sebagai simbol, ritual dan doa. Selain itu, Pythagoras percaya bahwa “Banyak aturan alam semesta,” dan ilmu Pythagoras memberikan nilai numerik untuk banyak obyek dan gagasan. Nilai-nilai numerik, pada gilirannya, dihubungkan dengan nilai mistik dan spiritual.
Sekitar 4000 tahun yang lalu, orang Babilonia dan orang Cina telah menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan panjang sisi 3, 4, dan 5 harus merupakan segitiga siku-siku. Mereka menggunakan konsep ini untuk membangun sudut siku-siku dengan membangi panjang tali kedalam 12 bagian yang sama, seperti sisi pertama pada segitiga adalag 3, sisi kedua adalah 4, dan sisi ketiga adalah 5 satuan panjang.
Legenda mengatakan bahwa setelah menyelesaiakan teorema yang terkenal itu, Pythagoras mengorbankan 100 lembu. Meskipun ia sangat diagungkan dengan penemuan teorema yang terkenal itu, namun tidaklah jelas diketahui apakah Pythagoras adalah penulis yang sebenarnya. Para pengkaji dalam kelompok the Brotherhood of Pythagoreans telah menulis banyak bukti geometris, tetapi sulit untuk dipastikan siapa penemu Teorema Phytagoras itu sendiri, sungguh sebuah kelompok yang sangat menjaga rahasia temuan mereka. Sayangnya, sumpah kerahasiaan tersebut bertentangan dengan ide matematika yang penting yang harus diketahui publik. Kelompok the Brotherhood of Pythagoreans telah menemukan bilangan irasional. Jika kita mengambil segitiga siku-siku sama kaki dengan kaki ukuran 1, maka panjang sisi miring adalah . Namun jumlah ini tidak dapat dinyatakan sebagai panjang yang dapat diukur dengan penggaris dibagi menjadi beberapa bagian pecahan, dan ini sangat mengganggu kelompok Pythagoras, yang terlanjur percaya bahwa “Semua adalah angka”. Mereka menyebutnya angka-angka “alogon”, yang berarti “unutterable”. Akhirnya mereka sangat terkejut dengan angka-angka ini, sehingga mereka dihukum mati seorang anggota yang berani menyebutkan keberadaan mereka kepada publik. Barulah 200 tahun kemudian, yaitu oleh Eudoxus, seorang  matematikawan Yunani yang dapat mengembangkan sebuah cara untuk berurusan dengan angka-angka unutterable tersebut.
Jumlah dari kuadrat sisi segitiga siku-siku sama dengan kuadrat sisi miring.
Hubungan ini telah dikenal sejak zaman Babilonia dan Mesir kuno, meskipun mungkin belum dinyatakan secara eksplisit seperti di atas. Sekitar pertengahan tahun 4000 dalam kalender Babilonia (sekitar tahun1900 SM), yang sekarang dikenal sebagai Plimpton 322 , (dalam koleksi dari Columbia University, New York), terdapat daftar kolom nomor yang menunjukkan apa yang sekarang kita sebut Triples Pythagoras, yaitu kumpulan angka yang memenuhi persamaan:
a 2 + b2 = c2

Perjalanan Selanjutnya

Setelah ditemukan oleh Kelompok Pythagoras, namun menolak untuk mengakui keberadaan, yaitu bilangan irasional. Dimulailah pencarian tentang bilangan tersebut, dengan cara berikut: Dimulai dengan segitiga siku-siku sama kaki dengan kaki panjang 1. Konstruksi ini sering disebut sebagai Square Root Spiral.

Sekitar 2500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan Eropa Utara terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi yang bulat. Bartel Leendert van der Waerden menghipotesikan bahwa Tripel Pythagoras diidentifikasi secara aljabar. Selama pemerintahan Hammurabi the Great (1790 - 1750 SM), tablet Plimpton Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang terkait dengan Tripel Pythagoras. Di India (Abad ke-8 sampai ke-2 sebelum masehi), terdapat Baudhayana Sulba Sutra yang terdiri dari daftar TripelPythagoras yaitu pernyataan dari dalil dan bukti geometris dari teorema untuk segitiga siku-siku sama kaki.
Pythagoras (569-475 SM) menggunakan metode aljabar untuk membangun Tripel Pythagoras. Menurut Sir Thomas L. Heath, tidak ada penentuan sebab dari teorema ini selama hampir lima abad setelah Pythagoras menuliskan teorema ini. Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero mengatributkan teorema ke Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan dikenal secara luas. Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencari Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and geometri. Sekitar 300 SM, elemen Euclid (bukti aksiomatis yang tertua) menyajikan teorema tersebut. Teks Cina Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah masehi memiliki bukti visual dari Teorema Pythagoras atau disebut dengan "Gougu Theorem" (sebagaimana diketahui di Cina) untuk segitiga berukuran 3, 4, dan 5. Selama Dinasti Han (202 SM - 220 M), Tripel Pythagoras muncul di Sembilan Bab pada Seni Mathematika seiring dengan sebutan segitiga siku-siku. Rekaman pertama menggunakan teorema berada di Cina sebagai 'theorem Gougu', dan di India dinamakan "Bhaskara theorem".
Namun, hal ini belum dikonfirmasi apakah Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku, karena tidak ada teks yang ditulis olehnya yang ditemukan. Walaupun demikian, nama Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai untuk teorema ini.

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments(0)

SEJARAH MATEMATIKAWAN YUNANI KUNO PART 2

|


2.1.            Cacat Pada Postulat Euclid
Semua postulat membawa apa yang disebut dengan pembuktian diri (self-evidence). Postulat kelima dibuktikan oleh Euclid tanpa memberikan cara pembuktian. Upaya pertama untuk membuktikan postulat kesejajaran ini dilakukan oleh Girolamo Saccheri, pendeta Jesuit berkebangsaan Italia, yang  mendukung Euclid dengan menerbitkan buku berjudul Euclides ab omni naevo vindicatus (“Euclid bebas dari semua kesalahan”) pada tahun 1733. Buku tersebut tidak dapat menuntaskan kesalahan Euclid. Matematikawan terkemuka Jerman, Gauss, pertama kali menemukan kesalahan postulat kelima tetapi malu  mempublikasikannya (merasa belum tuntas), sehingga kehormatan diberikan kepada dua matematikawan lain yang mengungkapkannya dengan cara berbeda. Janos Bolyai dari Hongaria dan Nicolai Lobachevsky dari Rusia secara terpisah mampu membuktikan cacat postulat kelima Euclid dengan cara berbeda pula.
Penemuan kesalahan ini membuat berkembangnya geometri model baru. Dirintis oleh Beltrami dari Italia, disusul Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis dan Felix Klein dari Jerman. Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuaian kecil terhadap postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jerman sehingga muncul bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, elips yang merupakan jawaban bahwa alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid (non-Euclidian).

2.2.            Tiga Problem Matematika Klasik
Para matematikawan sejak dahulu berkutat dengan tiga problem yang tidak dapat dipecahkan pada masa itu. Memang ketiga problem itu menjadi mudah setelah ada “campur-tangan” para matematikawan modern yang terus menyempurnakan alat-alat matematika. Adapun ketiga problem ini adalah:
1.            Persamaan pangkat tiga (kubik)
            4x³ -  3x - a  = 0
a adalah angka tertentu. Saat itu Yunani tidak mengenal pangkat tiga (kubik). Dengan menggunakan penggaris dan kompas mereka hanya mampu menyelesaikan persamaan linier (pangkat 1) dan persamaan kuadrat (pangkat 2).
2.            Menggandakan kuadrat
             2x³  = y³ atau x³   = 2.
Problem yang tidak dapat dipecahkan terjadi karena sebuah legenda. Bangsa Athena, menurut cerita, melakukan konsultasi dengan Oracle (tempat dibangun kuil dan tempat dewa bersabda) sebelum melakukan kampanye perang dan dijawab bahwa untuk mempertahankan kejayaan mereka harus menggandakan lebar altar pemujaan terhadap dewa Apollo (Anak Zeus yang dipercayai oleh ayahnya untuk menyingkapkan keputusan-keputusan ayahhandanya bagi umat manusia), yang berbentuk kubus. Mereka segera membuat altar dengan dua kali panjang, dua kali lebar dan dua kali tinggi dibanding altar aslinya.
Percaya bahwa mereka sudah memenuhi keinginan Oracle, mereka dengan penuh percaya diri menuju perang – dan kalah. Ternyata, mereka membuat altar delapan kali besarnya, bukan 2 kali.
3.            Menggambar lingkaran.
Karena tidak ada alat yang tersedia, pada saat itu, tidaklah dimungkinkan menggambar lingkaran bahkan dinyatakan dalam bentuk persamaan aljabar. Problem menyangkut menentukan besaran Ï€ (pi), nisbah antara lingkaran dan diameter. Kendala datang dari Ï€ yang merupakan bilangan irrasional sekaligus transendental (bukan bilangan yang dapat diekspresikan dalam bentuk aljabar). Sulit memahami alam tanpa kehadiran bilangan ini. Ada 2 bilangan transendental yang sangat terkenal: Ï€ dan ℮).
Ketiga problem klasik ini akan selalu membayangi kiprah para matematikawan. Tidak terkecuali Euclid, tanpa pernah dapat menyelesaikan. Matematikawan berikutnya akan selalu menghadapi dan berupaya memecahkan ketiga problem tersebut. Penyelesaian suatu problem berarti memperoleh nama baik sekaligus prestasi. Tidak jarang terjadi kecurangan, saling “curi” ide, penghianatan. Dan hal ini selalu terjadi di jaman dulu sampai jaman sekarang. Banyak contoh dapat dibaca pada riwayat-riwayat para matematikawan selanjutnya.

       Euclid dan Bilangan Prima
Euclid, seperti matematikawan jaman sekarang, mempelajari bilangan prima, mencari untuk menentukan bilangan mana yang masuk kategori prima atau bukan. Euclid tidak pernah dapat menentukan bilangan prima, tetapi dia mampu memberikan jawaban tentang bilangan prima. Banyaknya bilangan prima itu adalah tidak terhingga.
Anak SD sekarang sudah terbiasa dengan bilangan prima. Dari angka 2 sampai dengan 50 terdapat 15 bilangan prima (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 , 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) ; dari 50 sampai dengan 100 hanya 10 bilangan prima.
Euclid membuat pernyataan: jika bilangan prima terbesar adalah n, maka pasti ada bilangan > n, di mana dapat dicari dengan menggunakan 1 x 2 x 3 dan seterusnya sampai n, kemudian ditambah 1 untuk mendapatkan hasilnya. Simbol matematika untuk mengekspresikan adalah n! + 1 (n faktorial ditambah 1).

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments(0)

SEJARAH MATEMATIKAWAN YUNANI KUNO PART 1

|


Kali ini kita akan membahas tentang sejarah matematikawan Yunani Kuno, tetapi disini aku ngeposting part satunya dulu yaaa.. Nah di part ini kita akan membahas mengenai EUCLID. Teman-teman penasaran dengan materinya??? Yuk sama-sama kita baca ......

EUCLID

Tidak lama setelah Pythagoras meninggal, lahirlah Euclid. Pada era ini matematika lebih dikenal sebagai sains dan kurang mistik seperti pada jaman Pythagoras. Theorema-theorema baru ditambahkan: kurva-kurva, lingkaran-lingkaran dan bentuk-bentuk lain dipelajari sama seperti garis lurus dan bidang–bidang datar. Tahun yang disebut di atas hanya prakiraan karena tidak adanya sumber yang layak dipercaya. Ada sumber yang menyebutkan Euclid hidup antara tahun 330 SM - 275 SM.
Lembaga yang menaungi pembelajaran saat itu adalah akademi Plato. Masa keemasan Yunani dan kebebasan berekspresi membuat pemikir-pemikir baru bermunculan. Didirikan di tahun 380 SM, lolos dari invasi-invasi yang datang silih berganti, hidup dalam suksesi banyak tiran dan menjadi saksi keruntuhan dua kebudayaan besar – Yunani dan Romawi – sebelum akhirnya ditutup pada abad keenam oleh kaisar Justinian.
Euclid diperkirakan belajar pada akademi Plato ini sebelum diangkat menjadi pengajar matematika di tempat yang sama. Ada cerita ketika Euclid masih mengajar di akademi ini, Alexander Agung menyatakan misinya untuk menaklukkan dunia. Yunani, bersama Mesir dan Mediteranian dan negara-negara di kepulauan Yunani ditaklukkan oleh angkatan perang Macedonian.  Pada tahun 332 SM, Alexander Agung menetapkan ibukota negara di Alexandria, Mesir dan sembilan tahun kemudian ia meninggal pada usia 33 tahun. Tahta diberikannya kepada jendral Ptolemy atau Claudius Ptolemaeus.

2.1.            Pribadi Euclid
Euclid dapat disebut sebagai matematikawan utama. Dia dikenal karena peninggalannya berupa karya matematika yang dituang dalam buku The Elements sangatlah monumental. Buah pikir yang dituangkan ke dalam buku tersebut membuat Euclid dianggap sebagai guru matematika abadi dan matematikawaan terbesar Yunani.
Pribadi Euclid digambarkan sebagai orang yang baik hati, jujur, sabar dan selalu siap membantu dan bekerjasama dengan orang lain. Banyak theorema-theorema yang dijabarkannya merupakan hasil karya pemikir-pemikir sebelumnya termasuk Thales, Hippokrates dan Pythagoras.
Banyak informasi salah tentang Euclid. Ada yang menyebutkan bahwa dia adalah anak Naucrates yang lahir di Tyre. Informasi lain menyebut bahwa Euclid lahir di Megara. Memang diketahui ada nama yang sama, Euclid dan lahir di Megara, tetapi hal itu terjadi 100 tahun sebelum kelahiran Euclid dan profesi Euclid dari Megara adalah filsuf. Euclid sendiri lahir di Alexandria. Kesalahan nama ini jamak terjadi karena pada masa itu banyak orang bernama Euclid.

2.2.            Karya Besar Euclid
The Elements dapat dikatakan karya fenomenal pada jaman itu. Terdiri dari 13 buku yang tersusun berdasarkan tema dan topik. Setiap  buku diawali dengan definisi, postulat (hanya untuk buku I), proposisi, theorema sebelum ditutup dengan pembuktian dengan menggunakan definisi dan postulat yang sudah disebutkan. Buku ini ke luar dari Yunani pada tahun 1482, diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dan Arab, serta menjadi buku teks geometri dan logika pada awal tahun 1700-an. Garis besar isi masing-masing buku.

Buku I             : Dasar-dasar geometri: teori segitiga, sejajar dan luas
Buku II           : Aljabar geometri
Buku III          : Teori-teori tentang lingkaran
Buku IV          :  Cara membuat garis dan gambar melengkung
Buku V           : Teori tentang proporsi-proporsi abstrak
Buku VI          : Bentuk yang sama dan proporsi-proporsi dalam geometri
Buku VII        : Dasar-dasar teori bilangan
Buku VIII       : Proporsi-proporsi lanjutan dalam teori bilangan
Buku IX          : Teori bilangan
Buku X           : Klasifikasi
Buku XI          : Geometri tiga dimensi
Buku XII        : Mengukur bentuk-bentuk
Buku XIII       : Bentuk-bentuk tri-matra (tiga dimensi)

Euclid mencetuskan 5 postulat dan 5 aksioma yang kemudian menjadi pokok bahasan. Postulat ialah suatu kebenaran yang tidak memerlukan bukti.
Lima Aksioma:
·         Suatu benda yang sejenis dan sama dengan benda lainnya, maka benda itu pun akan sama pula.
·         Jika suatu benda yang sejenis ditambahkan pula dengan benda yang sama maka hasilnya akan sama pula.
·         Bila suatu benda yang sejenis dikurangi dengan benda yang sama pula maka sisanya akan menghasilkan benda yang sama.
·         Suatu benda dalam waktu yang bersamaan sejenis dengan benda lainnya, maka benda itu akan sama satu dengan yang lainnya.
·         Keseluruhan selalu lebih besar bila dibandingkan dengan kumpulan bagian.

Contoh analisa lima aksioma:
·         Bila ada sebuah benda atau makhluk manusia misalnya, di sini sedang di lain tempat kita dapati manusia pula yang berupa makhluk hidup, maka 2 makhluk ini pasti sama-sama makhluk hidup pula.
·         Bila kita memiliki mangga sekeranjang. Maka pada keranjang itu kita tambahkan buah yang sejenis pula. Maka hasil campuran itu terdiri atas buah mangga pula.
·         Bila pada suatu keranjang yang berisi benda yang sama misalnya durian. Lalu dikurangi beberapa buah durian, maka sisa dalam keranjang pasti buah durian pula.
·         Bila pada hari ini kita umpamakan memiliki beberapa buah benda misalnya buku tulis. Tetapi di tempat lain kita juga memiliki benda yang sama yaitu buku tulis. Ini berarti di tempat lain dan di tempat kita sekarang hasilnya sama pula.
·         Andaikan kita memiliki beberapa hewan piaraan banyak sekali yang dibagi-bagi menjadi beberapa kurungan. Tentu saja hasil keseluruhan itu akan selalu lebih banyak bila dibandingkan dengan kumpulan bagian dari kumpulan yang banyak itu sendiri.

Lima postulat Euclides:
·         Sebuah garis lurus dapat digambarkan dari setiap titik ke titik lainnya.
·         Sebuah garis lurus yang diketahui dapat digambarkan terus menerus dan akan menghasilkan garis lurus pula.
·         Sebuah lingkaran dapat digambarkan dengan sebuah titik sentral (titik tengah), dengan panjang garis sebagai jari-jari lingkaran yang sama panjangnya dengan garis lurus tertentu.
·         Semua sudut yang dibuat oleh 2 garis lurus berpotongan akan sama besarnya.
·         Bila diketahui sebuah garis lurus dan sembarang titik di luar garis itu, maka hanya dapat dibuat satu garis lurus yang sejajar garis tadi.

Contoh analisa postulat Euclides:
·         Bila pada suatu bidang datar digambarkan titik A sedang pada tempat lain di bidang itu digambarkan titik B. Maka antara 2 titik itu dapat dibuat 1 garis lurus. Lihat pada gambar.

·         Bila kita menggambarkan garis lurus misalnya sepanjang garis A B. Maka pada titik B dapat kita teruskan, dan akan terbentuklah sebuah garis lurus yang panjangnya tak terhingga.

·         Bila pada titik pusat lingkaran P kita buat lingkaran dengan jari-jari a cm dan b cm. Maka akan terbentuk 2 lingkaran sepusat dengan titik pusat P dan jari-jari a cm dan b cm. Lihat pada gambar.

·         Bila 2 garis AB dan CD berpotongan pada titik P. Maka akan terbentuk 4 sudut yang mempunyai 2 pasang sudut yang sama besarnya. Sudut P1 dan P3 besarnya sama. Begitu pula sudut P2 dan P4 sama besarnya.

·         Bila pada bidang datar digambarkan penggal garis AB dan digambarkan pula titik P di luar garis itu. Maka melalui titik P hanya dapat dibuat 1 garis yang sejajar garis AB. Bila garis yang kita buat dinamai garis k maka garis k // AB. Garis k sejajar AB.

Theorema-theorema yang terdapat pada Elements adalah kompilasi karya para matematikawan sebelumnya seperti: Pythagoras, Eudoxus, Menaechmus, Hippocrates, menampilkan pembuktian-pembuktian kuno dengan mengganti dengan pembuktian baru dan disederhanakan. Elements menjadi – dan abadi – buku teks baku dalam geometri. Saat mesin cetak ditemukan, buku Elements termasuk buku pertama yang dicetak.
Euclid mencoba memecahkan problem irrasional yang membuat Pythagoras putus-asa. Dengan menggunakan contoh segitiga siku-siku dengan panjang kedua sisinya 1, maka sisi panjang segitiga adalah  x² = 2. Euclid membuat asumsi bahwa solusinya dapat ditemukan. Solusi versi Euclid hanya menyebutkan bahwa √2 adalah (bilangan) irrasional yang artinya bilangan tersebut tidak dapat dibuat nisbah (ratio), bukan karena bilangan tersebut “kurang waras.” Rasanya ketiga-belas buku dan “kandungan” lima postulat sulit dibantah. Ternyata ada ‘cacat’ pada postulat kelima.

2

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments(0)
Langganan: Postingan (Atom)